Слайды и текст доклада
Pic.1
Министерство образования и науки РФ Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики …
Pic.2
Рекомендуемая литература Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб. : Лань, 2007. – 448 с. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика . М. : …
Pic.3
Содержание лекции §1. Матрицы §2. Определители §3. Невырожденные матрицы
Pic.4
Цель и задачи занятия Цель занятия: развитие средствами изучаемой дисциплины общекультурных и профессиональных компетенций, регламентируемых ФГОС ВПО направлению «080400 – Управление персоналом» …
Pic.5
§1. Матрицы 1. 1. Основные понятия Df: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица имеет вид: A = . или, …
Pic.6
1. 1. Матрицы: основные понятия (продолжение) Df: Матрицы A и B равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. A = B aij = bij, где i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. …
Pic.7
1. 1. Матрицы: основные понятия (продолжение) П р и м е р 1. а) Единичная матрица 3-го порядка: E = E33 = б) Единичная матрица n-го порядка: E = Enn = Df: Квадратная матрица называется треугольной, …
Pic.8
1. 1. Матрицы: основные понятия (продолжение). Df: Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец или вектор-строка, соответственно). Их вид: A =, B = (b1, …
Pic.9
1. 2. Действия над матрицами. 1. 2. 1. Сложение Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковой размерности. Df: Суммой С = A + B двух матриц Amn = (aij) и Bmn = (bij) называется …
Pic.10
1. 2. Действия над матрицами. 1. 2. 2. Умножение матрицы на число Операция умножения матрицы на число вводится для матриц произвольной размерности. Df: Произведением матрицы Amn = (aij) на число k …
Pic.11
1. 2. Действия над матрицами. Свойства операций сложения и умножения матриц Для операций сложения (вычитания), умножения матрицы на число справедливы следующие (линейные) свойства: 1. A + B = B + A; …
Pic.12
1. 2. Действия над матрицами. 1. 2. 3. Элементарные преобразования матриц Df: Элементарными преобразованиями матриц являются следующие: Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы; Умножение …
Pic.13
1. 2. 3. Элементарные преобразования матриц (продолжение) С в о й с т в о: При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой по диагонали стоят подряд несколько …
Pic.14
1. 2. 3. Элементарные преобразования матриц (продолжение) Решение: 2 2 Матрица A приведена к каноническому виду.
Pic.15
1. 2. Действия над матрицами. 1. 2. 4. Умножение матриц Операция умножения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Иначе: матрицы …
Pic.16
1. 2. 4. Умножение матриц (продолжение) С в о й с т в а произведения квадратных матриц: Если A и B – квадратные матрицы одного размера, то произведение AB и BA всегда существуют (при этом в общем …
Pic.17
1. 2. 4. Умножение матриц (продолжение) Df: Матрицы A и B называются перестановочными, если AB = BA. П р и м е р 5. Доказать, что а) матрицы A = и B = перестановочны; б) матрицы AT = и B не …
Pic.18
1. 2. Действия над матрицами. Свойства операций умножения и транспонирования матриц Для операций умножения и транспонирования матриц справедливы следующие свойства (при условии, что все написанные …
Pic.19
§2. Определители 2. 1. Основные понятия Df: Квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие число detA (или |A|, или ), называемое ее определителем или детерминантом, следующим …
Pic.20
§2. Определители 2. 1. Основные понятия (продолжение) Общее определение детерминанта для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие …
Pic.21
§2. Определители 2. 1. Основные понятия (продолжение) П р и м е р 6. Вычислить определители указанных матриц: A =, B = , C =. Решение: Вычислим детерминанты по определению. а) detA = = 26 (3)5 = …
Pic.22
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям произвольных порядков. Некоторые свойства проиллюстрируем на примере определителей …
Pic.23
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) Свойство 1 позволяет не различать строки и столбцы определителя; в дальнейшем будем называть их рядами определителя. С в о й с т в о 2. При …
Pic.24
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) С в о й с т в о 4. Общий множитель элементов какого – либо ряда определителя можно вынести за знак определителя. С л е д с т в и е из …
Pic.25
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) С в о й с т в о 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен …
Pic.26
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) С в о й с т в о 6. Элементарные преобразования определителя. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить …
Pic.27
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения. Df: Минором некоторого элемента aij определителя …
Pic.28
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) С в о й с т в о 7. Разложение определителя по элементам некоторого ряда. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда …
Pic.29
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) С в о й с т в о 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов …
Pic.30
§2. Определители 2. 2. Свойства определителей (продолжение) П р и м е р 7. Вычислить определитель, используя свойства определителей: = = = (1)2+2 = = = = 9.
Pic.31
§3. Невырожденные матрицы 3. 1. Основные понятия Пусть A – квадратная матрица порядка n: A = . Df: Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель = detA 0. В противном …
Pic.32
§3. Невырожденные матрицы 3. 1. Основные понятия (продолжение) Df: Матрица A1 называется обратной (к) матрице A, если выполняется условие AA1 = A1A = E, где E единичная матрица того же …
Pic.33
§3. Невырожденные матрицы 3. 2. Обратная матрица Т е о р е м а об обратной матрице. Всякая невырожденная матрица A имеет обратную. Доказательство: Проведем доказательство для случая матрицы 3-го …
Pic.34
§3. Невырожденные матрицы 3. 2. Обратная матрица (продолжение) AA* = = = = = = detA = detAE. Аналогично получаем A*A = detAE. Т. о. , имеем A = A = E, т. е. матрица A1 существует и равна …
Pic.35
§3. Невырожденные матрицы 3. 2. Обратная матрица (продолжение) П р а в и л о вычисления обратной матрицы: Вычислить определитель матрицы detA, убедившись в том, что detA 0. Вычислить алгебраические …
Pic.36
§3. Невырожденные матрицы 3. 2. Обратная матрица (продолжение) П р и м е р 9. При каких матрица A() = имеет обратную? Вычислить A1 при = 2, если существует. Решение: 1) Вычислим определитель …
Pic.37
§3. Невырожденные матрицы 3. 2. Обратная матрица (продолжение) 2) Вычислим алгебраические дополнения Aij элементов aij данной матрицы A: A11 = (1)1+1 = 3; A12 = (1)1+2 = 2; A13 = (1)1+3 = 4; …
Pic.38
§3. Невырожденные матрицы 3. 2. Обратная матрица (продолжение) 4) Вычислим обратную матрицу A1 = A*/ = . 5) Выполним проверку: AA1 = = = = = E. Аналогично убеждаемся, что A1A = E. Задача …
Pic.39
§3. Невырожденные матрицы 3. 3. Ранг матрицы Df: Пусть A = Amn – прямоугольная матрица размером mn: A = . Выделим в ней k строк и k столбцов (k min(m; n)). Из элементов, стоящих на пересечении …
Pic.40
§3. Невырожденные матрицы 3. 3. Ранг матрицы (продолжение) Df: Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Ранг матрицы обозначается r, или r(A), или …
Pic.41
§3. Невырожденные матрицы 3. 3. Ранг матрицы (продолжение) П р и м е р 9. Найти ранг матрицы A = . Решение: Воспользуемся 4-ым свойством ранга матрицы: . Таким образом, ранг матрицы A …
Pic.42
Спасибо за внимание! Ваши вопросы, замечания, предложения …
Скачать презентацию
Если вам понравился сайт и размещенные на нем материалы, пожалуйста, не забывайте поделиться этой страничкой в социальных сетях и с друзьями! Спасибо!