Презентация Методы решения систем уравнений. Критерий итерационной сходимости

Презентация Методы решения систем уравнений. Критерий итерационной сходимости


Предлагаем ознакомиться с содержанием и скачать для редактирования или печати презентацию «Методы решения систем уравнений. Критерий итерационной сходимости», содержащую 15 слайдов и доступную в формате ppt. Размер файла доклада составляет 1.00 MB

Просмотреть и скачать

Слайды и текст этого доклада

Метод конечных разностей; Метод конечных разностей; Метод контрольных объемов; Метод конечных элемен
Рис.1 Метод конечных разностей; Метод конечных разностей; Метод контрольных объемов; Метод конечных элементов; Метод сглаженных частиц; Метод с использованием функции распределения вероятностей.
Метод контрольных объемов Дискретизация – преобразование непрерывной функции в дискретную. ANSYS CFX
Рис.2 Метод контрольных объемов Дискретизация – преобразование непрерывной функции в дискретную. ANSYS CFX использует метод конечных объемов на основе элементов дискретизации пространственной области с использованием сетки. Сетка нужна для построения конечных объемов, которые используются для применения законов сохранения соответствующих величин, таких как масса, импульс и энергия. Сетка трехмерна, но для простоты рассмотрим двухмерную. Построение сеточной модели – дискретизация пространства. Задание временного шага – дискретизация времени.
Типичная двумерная сетка Все переменные решения и свойства текучей среды хранятся в узлах Node (верш
Рис.3 Типичная двумерная сетка Все переменные решения и свойства текучей среды хранятся в узлах Node (вершины сетки). Контрольный объем Control Volume (заштрихованная область) строится вокруг каждого узла сетки следующим образом: контрольный объем ограничивается линиями, соединяющими центры ребер (т. 1) и центры граней Element Center (т. 2) сеточных элементов Element, окружающих узел Node (т. 0).
Методология метода конечного объёма Для иллюстрации методологии метода конечного объема рассмотрим у
Рис.4 Методология метода конечного объёма Для иллюстрации методологии метода конечного объема рассмотрим уравнения сохранения массы, импульса, выраженные в декартовых координатах:
Методология метода конечного объёма
Рис.5 Методология метода конечного объёма
Методология метода конечного объёма Объемные интегралы дискретизируются в каждом секторе Sector сето
Рис.6 Методология метода конечного объёма Объемные интегралы дискретизируются в каждом секторе Sector сеточного элемента Element и накапливаются в контрольном объеме Control Volume, к которому принадлежит сектор. Поверхностные интегралы дискретизируются в точках интегрирования (ipn), расположенных в центре грани каждого сегмента сеточного элемента.
Методология метода конечного объёма После дискретизации объемных и поверхностных интегралов интеграл
Рис.7 Методология метода конечного объёма После дискретизации объемных и поверхностных интегралов интегральные уравнения преобразуются:
Решение линеаризованных уравнений (метод итерационного приближения)
Рис.8 Решение линеаризованных уравнений (метод итерационного приближения)
Критерий итерационной сходимости Реальный вычислительный процесс всегда должен заканчиваться при кон
Рис.9 Критерий итерационной сходимости Реальный вычислительный процесс всегда должен заканчиваться при конечном значении k, поэтому возникает проблема выбора условия окончания итераций – величины критерия сходимости Δ. 1. Абсолютное изменение параметра на соседних шагах итерационного процесса | xk – xk-1 | ≤ Δ; 2. Относительное изменение параметра на соседних шагах | (xk – xk-1) / xk | ≤ Δ; где Δ – заданное пользователем малое значение, определяющая точность нахождения решения. Критерий итерационной сходимости – мера локального дисбаланса или невязка каждого уравнения в контрольном объеме.
Общая блок-схема итерационных алгоритмов
Рис.10 Общая блок-схема итерационных алгоритмов
Выбор величины критерия итерационной сходимости Численное решение уравнений до достижения установлен
Рис.11 Выбор величины критерия итерационной сходимости Численное решение уравнений до достижения установленного критерия итерационной сходимости Δ определяет точность расчета: Δ > 10-4 – достаточная точность для получения качественного понимания поля течения; Δ = 10-4 – относительно неточный расчет, но может быть достаточным для многих инженерных задач. Эта величина по умолчанию установлена в ANSYS CFX. 10-4 < Δ < 10-6 – хорошая сходимость, и, как правило, достаточная для большинства технических задач. Δ ≤ 10-6 – точный расчет, применяется для геометрически чувствительных элементов (расчета в переходных областях при резком сужении или расширении канала, при расчете пограничного слоя и т. д. ). Зачастую на практике невозможно достичь такого уровня точности.
Реализация итерационного алгоритма в ANSYS CFX Решение набора линеаризованных уравнений для каждого
Рис.12 Реализация итерационного алгоритма в ANSYS CFX Решение набора линеаризованных уравнений для каждого контрольного объема на каждом итерационном шаге: [A][φ]=[b], где [А] – коэффициенты перед неизвестными; [φ] – неизвестные; [b] – свободные члены. Пусть ɸ0 – начальное приближение для неизвестных; ɸ’ – поправка решения; n – текущий шаг интегрирования.
Система может быть решена итеративно с использованием начального приближения, которое корректируется
Рис.13 Система может быть решена итеративно с использованием начального приближения, которое корректируется поправкой на каждом шаге для достижения более точного значения: Система может быть решена итеративно с использованием начального приближения, которое корректируется поправкой на каждом шаге для достижения более точного значения: φn+1 = φn + φ’, где φ’ – решение следующего уравнения, Aφ’ = b – Aφn. При повторении указанных действий решение достигает требуемого уровня точности Δ, определённого пользователем: где n – номер итерации; N – общее число конечных элементов; φ – решение.
Графики итерационной сходимости
Рис.14 Графики итерационной сходимости
Устранение проблем со сходимостью Если имеются проблемы со сходимостью, необходимо найти их источник
Рис.15 Устранение проблем со сходимостью Если имеются проблемы со сходимостью, необходимо найти их источник, не принимая полученные результаты. В первую очередь надо понять какой характер она носит ошибка, глобальный или локальный. 1. Сравните RMS (средние) и MAX (максимальные) невязки уравнений, имеющих плохую сходимость. Если MAX невязка превышает RMS более чем на порядок, это обычно свидетельствует о локальной проблеме сходимости (сетка, ГУ, НУ). 2. Выяснение расположения этой локализации в расчетной области является первым этапом решения проблемы. Для этого в постпроцессоре необходимо создать локализацию (например, изоповерхность) с невязкой (Resedual) в качестве переменной. Чтобы получить массив невязок в файле результатов необходимо в постпроцессоре в объекте Output Control задействовать соответствующую опцию (Results/Output Equation Reseduals/All). 3. Если область с максимальными невязками находится далеко как от интересующей области, так и от выходной границы (Outlet), то решение можно считать корректным. 4. При глобальной проблеме – необходима корректировка задачи.


Скачать презентацию